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Wenn man fragt, wie häufig die Ziffern von 1 bis 9 am Anfang einer Zahl zu erwarten sind, dürfte die Antwort zumeist lauten: Sie sollten jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 1/9 vorkommen. Das Newcomb-Benfordsche Gesetz (kurz: Benford’s Law) besagt jedoch, dass die Ziffer 1 mit Abstand am häufigsten vorkommen sollte – nämlich in knapp 1/3 aller Fälle. Danach nehmen die Wahrscheinlichkeiten rasch ab. Bereits die Wahrscheinlichkeit für die Ziffer 2 beträgt weniger als 1/5 und im Fall der Ziffer 9 schließlich nur noch weniger als 1/20. Dies gilt zwar nicht für beliebige Zahlen (z. B. Hausnummern), aber für alle mathematischen Größen (reelle Vielfache einer Einheit).

Was Benford’s Law genau besagt

Benford’s Law besagt, dass bei einer zufällig gewählten Zahl X, eine beliebige Ziffer z mit folgender Wahrscheinlichkeit p als erste Ziffer auftritt:

p(X ist Element von Xz) = lg(1 + 1/z)

Dabei bezeichne Xz die Menge aller positiven reellen Zahlen, die in der Dezimaldarstellung mit Ziffer z beginnen.

Für die nachfolgenden Ziffern einer Größe gilt im Prinzip nichts anderes.

Mathematische Konsequenz

Als Konsequenz treten die Ziffern 1 bis 9 als erste Ziffer einer Größe mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auf:

Ziffer   Wahrscheinlichkeit

1          30,1 %

2          17,6 %

3          12,5 %

4          9,7 %

5          7,9 %

6          6,7 %

7          5,8 %

8          5,1 %

9          4,6 %

Wie sich Benford’s Law zu tatsächlichen Größen verhält

Betrachtet man die Häufigkeit tatsächlicher Größen so ergibt sich oftmals eine weitgehende Übereinstimmung mit vorgenannten Erwartungswerten.

Wikipedia etwa nennt als Beispiel natürliche Wachstumsprozesse. Auch die momentanen Preise eines Supermarktes wiesen die betreffende Verteilung auf, egal zu welchem Zeitpunkt die Preise betrachtet würden.

Strafrechtliche Relevanz

Benford’s Law ist nicht nur ein Stück verblüffender mathematischer Theorie, sondern hat auch erhebliche Relevanz in den Bereichen Wirtschaftsstrafrecht und Steuerstrafrecht.

So kann mit Hilfe statistischer Tests untersucht werden, ob Finanzdaten signifikante Abweichungen von den Erwartungswerten nach Benford’s Law aufweisen. Benford’s Law dient so der Aufdeckung von Betrugsfällen z. B. in der Finanzverwaltung oder in der Versicherungswirtschaft.

Bedeutung für Compliance 

Ein „gelebtes“ Compliance Management zeichnet sich unter anderem dadurch aus, dass die Einhaltung der geltenden Regeln auch kontrolliert. Daher ist es selbst für mittlere und kleine Unternehmen (KMU) überlegenswert softwaregestützt zu analysieren, ob die Zahlen des Unternehmens signifikante Abweichungen zum Normalfall aufweisen.

Benford’s Law erklärt

Den Versuch einer kurzen Plausibilisierung obiger Formel können sich Interessierte ich hier als PDF-Datei herunterladen: